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名称

　Statistics::LSNoHistory - データ履歴なしで最小２乗法で線形回帰を求める

概要

# 点をコンストラクト
$reg = Statistics::LSNoHistory->new(points => [
   1.0 => 1.0,
   2.1 => 1.9,
   2.8 => 3.2,
   4.0 => 4.1,
   5.2 => 4.9
   ]);

# 他のコンストラクト方法
$reg = Statistics::LSNoHistory->new(
   xvalues => [1.0, 2.1, 2.8, 4.0, 5.2],
   yvalues => [1.0, 1.9, 3.2, 4.1, 4.9]
);
# または
$reg = Statistics::LSNoHistory->new;
$reg->append_arrays(
   [1.0, 2.1, 2.8, 4.0, 5.2],
   [1.0, 1.9, 3.2, 4.1, 4.9]
);
# または
$reg = Statistics::LSNoHistory->new;
$reg->append_points(
   1.0 => 1.0, 2.1 => 1.9, 2.8 => 3.2, 4.0 => 4.1, 5.2 => 4.9
);

# 過去の回帰からコンストラクトしてもよい
 $reg = Statistics::LSNoHistory->new(
   num => 5,
   sumx => 15.1,
   sumy => 15.1,
   sumxx => 56.29,
   sumyy => 55.67,
   sumxy => 55.83,
   minx => 1.0,
   maxx => 5.2,
   miny => 1.0,
   maxy => 4.9
);

# 各ブランチは以下のように初期化
$branch = Statistics::LSNoHistory->new(%{$reg->dump_stats});
$reg->append_point(6.1, 5.9);
$branch->append_point(5.8, 6.0);

# 回帰値を計算していくつか出力
printf("Slope: %.2f\n", $reg->slope);
printf("Intercept %.2f\n", $reg->intercept);
printf("Correlation Coefficient: %.2f\n", $reg->pearson_r);
...

説明

　本パッケージは完全なデータ履歴を格納していなくても最小２乗法による線形回帰を行う。他の方法と同様に（最小２乗法の意味で）以下の式を満たす最良の m, k を求める。

y = m*x + k fits data points (x_1,y_1),...,(x_n,y_n).

　多くの線形回帰を含むアプリケーションでは新たなデータが追加された場合には過去の回帰に用いた全てのデータを要求することが多い。しかしここでは全データ履歴は必要がなく、中間的な統計量があればよい。その数はガウスのおかげで６つで済む。
　ユーザインタフェースはオブジェクトを初期化して生データまたは中間統計量を処理する。

コンストラクタの引数

　コンストラクタ（またはクラスメソッド new）はいくつかの引数をとる。初期化のシナリオは引数の種類により、以下のカテゴリーがある。

• デフォルト：new() それ自身はデータ無しで初期化する。全ての内部統計量は０に設定される。
• データ点配列（data points array）：new(points => [x_1 => y_1, x_2 => y_2,..., x_n => y_n]) のように書けば n 個の特定のデータ点を設定できる。"ハッシュ記法" で記述された場合でも、明確さのために配列参照であることが期待されていることに注意すること。
• データ値配列（data value arrays）：new(xvalues => [x_1, x_2,..., x_n], yvalues => [y_1, y_2,..., y_n]) は上と同様である。
• 直前の状態（previous state）： new(state arguments) は以下の統計量を必要とする。
  
  • num:=> データの数
  • sumx:=> x の和
  • sumy:：=> y の和
  • sumxx:=> x の２乗和
  • sumyy:=> y の２乗和
  • sumxy:=> x と y の積和
  • minx:=> x の最小値
  • maxx:=> x の最大値
  • miny:=> y の最小値
  • maxy:=> y の最大値

メソッド

• append_point(x,y) は追加データ点を処理する。
• append_points(x_1 => y_1,..., x_n => y_n) は append_point() を n 回呼び出したのと同等の処理を行う。
• append_arrays([x_1, x_2,..., x_n], [y_1, y_2,..., y_n]) は x と y のデータ配列参照を与えられたときに処理を行う。append_point() を n 回呼び出したのと同等の処理を行う。
• average_x は x の平均値を返す。
• average_y は y の平均値を返す。
• variance_x は (n-1) で割る形式の x の分散を返す。
• variance_y は (n-1) で割る形式の y の分散を返す。
• slope は y = m*x + k が最小２乗法の意味でフィットする傾き m を返す。これは (y-y_avg)**2 を最小化するものであって、標準傾きであることに注意すること。
• intercept は y = m*x + k が最小２乗法の意味でフィットする切片 k を返す。これは (y-y_avg)**2 を最小化するものであって、標準切片であることに注意すること。
• predict(x) は所与の x に対する y の値を予測する。標準回帰傾き m と切片 k （それぞれ ->slope 及び ->intercept）から m*x + k を最も最近のデータで計算する。
• slope_y は y = m'*x + k' が最小２乗法の意味でフィットする m' を返す。これは (x-x_avg)**2 を最小化するものであって、標準傾きでないことに注意すること。
• intercept_y y = m'*x + k' が最小２乗法の意味でフィットする k' を返す。これは (x-x_avg)**2 を最小化するものであって、標準切片でないことに注意すること。
• predict_x(y) は所与の y に対する x の値を予測する。標準回帰傾き m' と切片 k' （それぞれ ->slope_y 及び ->intercept_y）から m'*x + k' を最も最近のデータで計算する。
• pearson_r はピアソンの相関係数を返す。
• chi_squared はχ²統計量を返す。
• minimum_x は x の最小値を返す。
• maximum_x は x の最大値を返す。
• minimum_y は y の最小値を返す。
• maximum_y は 最大値を返す。
• dump_stats は以下の形式のハッシュを返す。
  

  { num   => val,
    sumx  => val,
    sumy  => val,
    sumxx => val,
    sumyy => val,
    sumxy => val,
    minx  => val,
    maxx  => val,
    miny  => val,
    maxy  => val }
  

  言い換えれば最終的なコンストラクタが必要とする全ての統計量を含む。これは回帰履歴の効果的なダンプとなる。

バグ

　この方法はデータを格納する他の方法よりも丸め誤差について疑わしい。スケールについては処理前に十分配慮が必要である。

著者

　John Pliam, <pliam@cpan.org>

参考資料

　CPAN モジュールとしては： Statistics::OLS, Statistics::Descriptive, Statistics::GaussHelmert, Statistics::Regression.

　統計に関する本・数学に関するハンドブック・数値解析に関する包括的な本。
　Press et al, Numerical Recipes in L [L in {C,Fortran, ...}], Nth edition [N > 0], Cambridge Univ Press.

コピー

　完全な情報は ファイル COPYING にある。

Updated : 2007/07/23