Location : Home > Languages > Perl > Package Title : Math::Integral::Romberg

名称

　Math::Integral::Romberg - Romberg法で数値積分を行う

概要

use Math::Integral::Romberg 'integral';
$area = integral(\&f, $x1, $x2);    # 短形式
$area = integral(\&f, $x1, $x2, $rel_err, $abs_err, $max_split, $min_split); # 長形式

# 長形式で行うことも可能
$Math::Integral::Romberg::rel_err = $rel_err;
$Math::Integral::Romberg::abs_err = $abs_err;
$Math::Integral::Romberg::max_split = $max_split;
$Math::Integral::Romberg::min_split = $min_split;
$area = integral(\&f, $x1, $x2);

説明

　integral() はシンプソン積分よりも高速なロンバーグ積分（Romberg integration）を用いて f() の数値積分を求める。

パラメータ

　

$f

　積分する関数への参照。

$x1, $x2

　積分範囲の上限と下限。&$f(x) は $x1 と $x2 において有限でなければならない

$rel_err

　許容可能な相対誤差の最大値。相対誤差及び絶対誤差の推定は 2**(n-1) + 1 箇所における推定値を用いた 2**n + 1 箇所における比較に基づく。
　$min_split に到達すれば（下記参照）計算は終了する。相対誤差が $rel_err 以下に、絶対誤差が $abs_err 以下に、または $max_split に到達しても同様である。
　指定されなければデフォルト値が 10**-10 である $Math::Integral::Romberg::rel_err を用いる。10**-15 という値は倍精度浮動小数点の精度の限界に近い。

$abs_err

　　許容可能な絶対誤差の最大値。指定されなければデフォルト値が 10**-20 である $Math::Integral::Romberg::abs_err を用いる。

$max_split

　最大、2 ** $max_split + 1 箇所の異なる点の値が f() の積分値を求めるために用いられる。指定されなければデフォルト値が16（65537点に対応）である $Math::Integral::Romberg::max_split が用いられる。

$min_split

　少なくとも、2 ** $min_split + 1 箇所の異なる点の値が f() の積分値を求めるために用いられる。指定されなければデフォルト値が5（33点に対応）である $Math::Integral::Romberg::max_split が用いられる。

$Math::Integral::Romberg::return_point_count

　デフォルト値は 0。1 に設定されれば、計算値と、計算に用いられた点の数を返す。

$Math::Integral::Romberg::abort

　$rel_err にも $abs_err にも到達せずに計算が終了した場合に 1 に設定される。いったん設定されるとそのままであるので、0 に設定しなおす必要がある。

デフォルト値

　integral() の長形式を用いると、呼び出しの際に値を変更するには、収束のためのパラメータをパッケージで指定されている変数名（例えば $Math::Integral::Romberg::abs_tol）で呼び出すだけである。

アルゴリズムについて

　ロンバーグ積分はサンプル点の数の２倍の箇所における高位の多項近似式を計算に用いている。例えば１点を与えると（2**1 + 1 箇所のサンプル点における計算を行い）、２次の多項近似式を用いる（シンプソン公式ではそう）。５点を与えると（2**5 + 1 箇所のサンプル点における計算を行い）10次の多項近似式を用いる。このことにより滑らかな関数では大幅に精度はよくなるが、そうでない関数では大幅に値が異なることになる。

著者

　Eric Boesch, <ebo@notes.dannet.dk>

Updated : 2006/07/16