Math::Business::BlackScholes - Black-Scholes option price model functions

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Title : Math::Business::BlackScholes

　Math::Business::BlackScholes - ブラック＝ショールズ式の計算

use Math::Business::BlackScholes
  qw/call_price call_put_prices implied_volatility_call/;

my $volatility=implied_volatility_call(
  $current_market_price, $option_price_in, $strike_price_in,
  $remaining_term_in, $interest_rate, $fractional_yield
);

my $call=call_price(
  $current_market_price, $volatility, $strike_price,
  $remaining_term, $interest_rate, $fractional_yield
);

$volatility=Math::Business::BlackScholes::historical_volatility(
  \@closing_prices, 251
);

my $put=Math::Business::BlackScholes::put_price(
  $current_market_price, $volatility, $strike_price,
  $remaining_term, $interest_rate
); # $fractional_yield のデフォルト値は 0.0

my ($c, $p)=call_put_prices(
  $current_market_price, $volatility, $strike_price,
  $remaining_term, $interest_rate, $fractional_yield
);

説明

　ブラック＝ショールズモデルに従うヨーロピアン・オプションの公正な市場価格を推定する。
　call_price() はコール・オプションの価格を返す。
　put_price() はプット・オプションの値を返す。
　call_put_prices() は１つめの要素がコール・オプションの価格で、２つめの要素が同じパラメータに対するプット・オプションの価格であるような２要素の配列を返す。同じ引数に対して call_price() 及び put_price() を連続して呼び出すことで効率的に計算することを期待している。
　これらのルーチンは同じパラメータの集合を受け入れる。

$current_market_price は現在取引されている原証券の価格である。
$volatility は１年後の証券価格の自然対数の分布の標準偏差である。
$strike_price はオプションの権利行使価格（ストライク価格）である。
$remaining_term はオプション期限の残存期間である（単位は年）。
$interest_rate は安全利子率（年利）を小数で返す。
$fractional_yield は証券が与える年あたりの配当である。定義されていなければ 0 と仮定する。

パラメータ値の決定

　$volatility と $fractional_yield は履歴データから推定される。$interest_rate は伝統的に現在の米国債の利子率（T-bill rate）に設定される。モデルでは、これらのパラメータがオプション権利行使可能な期間を通じて変化しないものと仮定している。

　$volatility (通常 sigma と表現される）はパーセントで表示される場合もあるが、これは比率ではないので注意する必要がある。$interest_rate 及び $fractional_yield についても同様である。

　 $volatility を推計するには２つの方法がある。
　historical_volatility() は証券の、連続した、少なくとも 10 （ 100 以上であればなお望ましい）日終値（時間の昇順または降順）の列を必要とする。日毎の利益率の対数に分散を乗じて第２引数で指定された年間取引日数（デフォルトでは250日）で割り、その平方根の年間換算値を返す。

　implied_volatility_call() は異なる権利行使価格や期間をもつ同一条件の証券のコールオプションの取引価格に基づき Newton-Raphson 法を用いて計算する。call_price() のように第２引数をコールオプション価格としてとり、ボラティリティを返す。デフォルトのオプション価格の許容範囲 1e-4 を $fractional_yield で上書きすることもできる。帰り値の第２要素は誤差の大きさの推定値である。第３要素は結果を得るのに必要であった繰り返し回数である。誤差の大きさはきわめて大きい場合がある。例外は $Math::Business::BlackScholes::max_iter （デフォルトでは100）回の繰り返し以内で収束した場合にプログラムが落ちた場合である。implied_volatility_put() でも同様である。

アメリカン・オプション

　ヨーロピアン・オプションが満期日にのみ権利行使されるのに対し、アメリカン・オプションは満期日までのいつでも権利行使することができる。アメリカン・オプションの価格は通常対応するヨーロピアン・オプションの価格と等しい。なぜならオプションの期待値はその本質的価値よりもたいていの場合大きいからである。しかしながら、配当（コールオプションの場合）や利子率（プットオプションの場合）が高ければ、また権利行使の時期と関係した税があればアメリカン・オプションは保有したほうが価値がある。

負の市場価値

　負の市場価格の証券とは「ショート」であることを意味する。ショートを買うということは証券を売ることに等しい。したがってショートでコールオプションを買うとはプットオプションを買うことに等しい。これはいくらか混乱を招くが、利用された場合にはほぼ間違いなく警告がでる。

確認

　負の期間に対するオプションを評価しようとする試みは croak() で行われる。それは無意味だからだ。不適当な値を通すと（例えば負の利子率）は記述的な警告メッセージを発する。そのようなメッセージを防ぐためには以下のようにすればよい。

{
   local($SIG{__WARN__})=sub{};
   $value=call_price( ... );
}

注意事項

本モジュールは Math::CDF を必要とする。
本モデルは配当が連続的に支払われるものと仮定する。実際には現在時点とオプション終了時点との関係で支払いの時期が単純な配当の価値と同様にオプション価格に影響を与える。
call_price() 及び put_price() の端株による計算誤差は通常無視できる。しかしながら call_put_prices() の計算誤差は現在の市場価格に対して非常に小さく、結果に影響を与えるかもしれない。が、たいていの場合は問題にならない。
historical_volatility() は誤った結果を導く傾向がある。それは証券の振る舞いが真に対数正規分布に従わないからである。特に価格は配当が支払われた後に変わり、日々の変動は財政的な発表が行われたあとは大きいと期待される。また、統計的に意味のある結果を得るために必要なデータの数は大きいが、データ数が大きいと言うことはデータがそれだけ古いということも意味する。
著者は本モジュールの信頼性を保証しない。

バグ

コンポーネントの名前空間 BlackScholes の長さが、DOSや 8.3 ファイルシステムでは不特定の問題を引き起こす原因となる。しかし Perl コミュニティの合意としては記述的な名称をもつことが重要とされている。

参考資料

　Math::CDF

著者

　Anders Johnson, <anders@ieee.org>

謝辞

　インプライド・ボラティリティ関数のデバッグ支援について Richard Solberg に感謝する。.

Updated : 2007/04/16